Capítulo 31: Pesquisa de Classe B, o sistema na verdade encoraja gastos excessivos?

Embora não exista uma regra explícita no meio acadêmico, o financiamento de projetos de pesquisa está frequentemente atrelado ao seu nível de dificuldade.

Quanto maior o orçamento, maior a complexidade. O inverso também é verdadeiro.

A demonstração da suavidade da equação de Monge-Ampère é, sem dúvida, uma pesquisa de extrema importância e alto nível; sua dificuldade é evidente ao longo de sua história.

A equação de Monge-Ampère teve origem no problema de transporte ótimo proposto por Monge há mais de duzentos anos, sendo posteriormente desenvolvida pelos matemáticos franceses Monge e Ampère.

Na década de 1980, Brenier elucidou ainda mais a relação entre o transporte ótimo e a equação de Monge-Ampère.

Seu aluno, Villani, aplicou a teoria do transporte ótimo à geometria diferencial e à física estatística, conquistando a Medalha Fields pela prova do amortecimento de Landau não linear e pelo estudo da convergência da equação de Boltzmann para o estado de equilíbrio.

O aluno de Villani, Alessio Figalli, pesquisou a teoria da regularidade de mapeamentos de transporte ótimo e sua conexão intrínseca com a equação de Monge-Ampère, também ganhando a Medalha Fields graças às estimativas a priori da derivada de segunda ordem W²¹ das soluções da equação e à aplicação de desigualdades geométricas.

Em outras palavras, as pesquisas relacionadas à equação de Monge-Ampère já envolveram dois ganhadores da Medalha Fields, o que demonstra claramente o grau de dificuldade e a importância do tema.

As aplicações da equação de Monge-Ampère são vastas e, com o avanço contínuo da tecnologia computacional, tornar-se-ão ainda mais abrangentes no futuro.

Desde problemas de transporte ótimo até imagens médicas, comunicações sem fio, indústria automobilística, aprendizado profundo, entre outros, a ciência moderna está repleta da influência da equação de Monge-Ampère.

Devido à sua natureza completamente não linear, encontrar soluções para a equação de Monge-Ampère sempre foi um problema extremamente difícil.

É precisamente por isso que a maior parte dos estudiosos foca suas pesquisas em garantir a existência, a unicidade e a suavidade (regularidade) da equação, a fim de facilitar sua resolução.

Em equações diferenciais parciais não lineares, os artigos de pesquisa de alto nível tratam invariavelmente dessas três propriedades.

A demonstração da suavidade da equação de Monge-Ampère certamente se qualifica para projetos de alto nível, como o de Jovens Talentos.

— Na verdade, não é apenas pela dificuldade.

Ao ser confrontado por Zhang Shuo sobre o problema do projeto, Luo Yongjun desistiu de esconder a situação. Ele abriu um arquivo de pesquisa e disse, frustrado: — Tive azar. Acabei de solicitar o projeto e, antes mesmo de receber o financiamento, outra pessoa já concluiu a mesma pesquisa.

Zhang Shuo examinou os documentos com atenção e, ao olhar para Luo Yongjun, seu semblante transparecia simpatia e compaixão.

O autor do artigo era o Professor Chen, da Universidade de Ciência e Tecnologia, e o trabalho foi publicado no periódico *Annals of Mathematics*, considerado o mais difícil de publicar. O conteúdo era justamente sobre a suavidade da equação de Monge-Ampère.

No campo da suavidade da equação de Monge-Ampère, o primeiro avanço significativo veio de Luis Caffarelli, que provou que, quando os dois domínios são estritamente convexos e a função de densidade é suave, a solução do transporte ótimo é suave.

Havia restrições: domínios estritamente convexos e função de densidade suave.

Nos vinte anos seguintes, os estudiosos da área consideraram essas condições (especialmente a convexidade estrita dos domínios) como indispensáveis.

O resultado da equipe do Professor Chen foi remover a condição de convexidade estrita dos dois domínios e até reduzir as exigências de suavidade na fronteira, provando a suavidade global da equação de Monge-Ampère sob condições de fronteira naturais.

Para a pesquisa da equação, isso foi um grande progresso, equivalente a expandir o escopo de um teorema para um domínio muito mais amplo.

Por isso, Luo Yongjun ficou sem espaço para pesquisar.

Luo Yongjun, contudo, não pensava assim. Ele argumentou: — A pesquisa do Professor Chen é, de fato, um grande avanço, mas depois de refletir, acredito que ainda é possível reduzir ainda mais as exigências de suavidade da fronteira.

— Modifiquei o conteúdo do projeto para expandi-lo com base no trabalho da equipe do Professor Chen.

— A matemática progride passo a passo, especialmente no campo das equações diferenciais parciais não lineares.

Zhang Shuo franziu os lábios e perguntou: — Houve algum progresso?

Luo Yongjun ficou em silêncio, constrangido. Após um longo tempo, admitiu com hesitação: — Houve… um pequeno progresso.

— Pode me contar? — perguntou Zhang Shuo com desinteresse aparente.

Enquanto falava, ele abriu o sistema e criou uma tarefa para verificar a dificuldade da pesquisa e entender se o trabalho de Luo Yongjun era viável.

[Tarefa 1]
[Nome do Projeto de Pesquisa: Demonstração da suavidade da equação de Monge-Ampère (redução adicional das exigências de suavidade da fronteira) (Avaliação de Dificuldade: B).]
[Progresso: 0,002%]
(A tarefa pode ser cancelada. No momento, o custo de cancelamento é: 0 créditos de pesquisa.)
(Créditos de pesquisa necessários para o progresso restante: 500.)

— Se o sistema permite criar a tarefa, significa que a pesquisa é viável.

— Dificuldade nível B? Requer 500 créditos de pesquisa?

— Todas as pesquisas de nível B custam 500 pontos, ou o custo varia conforme a natureza da dificuldade?

— E ainda… a matemática pura é realmente muito mais difícil do que algoritmos!

Um pequeno avanço no estudo da equação de Monge-Ampère já atingiu um nível que exige 500 créditos de pesquisa.

Mas, pensando bem, isso é normal. A prova da existência de soluções suaves para as equações de Navier-Stokes em três dimensões é um dos sete problemas do milênio.

Zhang Shuo balançou a cabeça pensativo e começou a ouvir pacientemente a explicação de Luo Yongjun.

— Eu pensei da seguinte forma:

— Começando pela análise da função de fronteira, definindo um domínio limitado de terceira ordem, onde a, b, c, d e e representam a função…

— Podemos analisar separadamente…

— Assim, teremos um ponto de representação contendo funções de valores positivos…

— Olhando para a prova do Professor Chen, esta parte é…

— Fazendo uma transformação adicional…

Luo Yongjun observava a expressão de Zhang Shuo enquanto falava. Ao perceber que Zhang Shuo compreendia tudo, ele acelerou o ritmo até chegar à transformação mais recente.

Zhang Shuo apontou, confuso, para a transformação final: — Este passo usou meu método de transformação por substituição? A transformação para a equação parece ter se tornado um pouco mais complexa e difícil de entender.

Luo Yongjun concordou, balançando a cabeça: — Sim, é realmente mais complexa, mas embora seja difícil de entender, tenho a sensação de que, após a transformação, ela parece ter criado uma conexão com a parte da prova ordenada…

— E depois? — insistiu Zhang Shuo.

— Acabou.

— Acabou?

Luo Yongjun pressionou os lábios com força: — Foi até onde consegui chegar.

— Então, esse é o resultado de um ano de trabalho…

Zhang Shuo soltou um comentário sarcástico enquanto verificava o sistema. Ao ver o progresso, respirou fundo e mudou rapidamente o tom: — Impressionante!

— Ah?

A mudança foi tão súbita que Luo Yongjun não soube como reagir. Ele perguntou, confuso: — Isso foi um elogio ou sarcasmo?

— É um elogio, é claro!

O tom de Zhang Shuo era sincero, pois ele descobriu que o progresso da tarefa havia atingido 46,304%.

A pesquisa de Luo Yongjun já estava quase na metade.

Zhang Shuo conteve o espanto e disse imediatamente: — Professor Luo, acredito que sua pesquisa não tem falhas; seguir por este caminho de demonstração pode funcionar.

— Não tente me consolar.

Luo Yongjun não sabia se o rumo da pesquisa estava correto ou se deveria continuar, e disse, desanimado: — Usei seu método de transformação por substituição, mas agora não sei se devo estudar a equação complexa resultante da transformação ou a equação original.

— Seja qual for a escolha, não sei como proceder!

Ele deu um longo suspiro.

Era raro ver Luo Yongjun tão angustiado com uma pesquisa. Zhang Shuo pegou o caderno de rascunhos que Luo Yongjun usara para a explicação e disse: — Deixe-me pensar um pouco.

Luo Yongjun fez um gesto de desdém. Ele conhecia bem a dificuldade da pesquisa e não acreditava que Zhang Shuo pudesse encontrar o próximo passo apenas pensando um pouco.

Zhang Shuo voltou ao seu lugar e, após refletir seriamente, entendeu a razão da angústia de Luo Yongjun.

Independentemente de fazer a transformação ou não, o próximo passo seria demonstrar a função de densidade.

No entanto, não havia por onde começar.

Esse não era um problema que se pudesse resolver em pouco tempo. Ele decidiu gastar créditos de pesquisa para comprar inspiração.

[Créditos de pesquisa -5.]

— O mínimo para comprar é 1% de progresso? E custou 5 pontos de uma vez? — Zhang Shuo fez uma careta, sentindo o peso do gasto; créditos de pesquisa não eram fáceis de acumular.

Mas se isso ajudasse Luo Yongjun a encontrar o caminho, valeria a pena.

De qualquer forma, eram apenas cinco dias de subsídio.

Após consumir os créditos, a inspiração inundou sua mente e o raciocínio da pesquisa clareou instantaneamente.

Antes mesmo de conseguir processar o conteúdo, ele notou uma nova notificação do sistema:

[O consumo de créditos de pesquisa para comprar progresso atingiu 10 pontos. Nova barra de tarefas desbloqueada: Tarefa 2.]

— …

Zhang Shuo ficou boquiaberto: — Então, subir de nível depende de gastar créditos, e ter muitos créditos desbloqueia novas tarefas?

— Em condições normais, o sistema não deveria me incentivar a usar mais o cérebro e a resolver os problemas de pesquisa por conta própria?

— O sistema, na verdade, está me incentivando a gastar mais!